Instituto Tecnológico Superior
de Venustiano Carranza
Instituto Tecnológico Superior
de Venustiano Carranza (ITSVC)Dirección: Av. Tecnológico S/N, Colonia El
Huasteco, C.P. 73049
Ing. En Geociencias
PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD
OBJETIVOS:
·
Dar a conocer los
principios básicos o fundamentales a cerca de la probabilidad.
·
Tener un conocimiento más
concreto a cerca de este tema.
INTRODUCCIÓN:
La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio del azar
desde el punto de vista de las matemáticas:
- La Probabilidad propone modelos para los
fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y
estudia sus consecuencias lógicas.
- La Estadística ofrece métodos y técnicas que
permiten entender los datos a partir de modelos.
De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es
una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada
donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad.
PROBABILIDAD
En este sentido, el cálculo científico de probabilidades puede
ayudarnos a comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica de
manera errónea. Un ejemplo típico es la denominada "paradoja de los
cumpleaños". Supongamos que estamos en un grupo de 23 personas. Los
cálculos nos dicen que la probabilidad de que dos personas celebren el mismo día
su cumpleaños es del 50%, algo que a simple vista parece increíble (Paradoja del Cumpleaños »). No es de extrañar por tanto
que la Teoría de Probabilidad se utilice en campos tan diversos como la
demografía, la medicina, las comunicaciones, la informática, la economía y las
finanzas.
ESTADÍSTICA
Cuando hablamos de estadística, se suele pensar en un
conjunto de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática.
Esta idea es debida a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi
imposible que cualquier medio de communicación, periódico, radio, televisión,
etc, no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística.
Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el
campo de la investigación de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología,
Psicología, ... empezamos a percibir que la Estadística no sólo es
algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy,
permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo
de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no
puedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes determistas.
La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para
recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos (Estadística
Descriptiva), siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una
causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de
ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular
predicciones ( Estadística Inferencial).
DESARROLLO
Historia de la Probabilidad
La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat
» y Blaise Pascal » tratan
de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque
algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió
sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué
publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha
que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.
Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y
Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el
debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657)
el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating
in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Se aceptaba como intuitivo
el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un
acontecimiento fuese igual al cociente entre
Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad
de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo
sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el
teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso
particular estudiado por De Moivre » ,
del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició
el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había
considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En
1812 Pierre Laplace » publicó
Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático
sobre los juegos de azar.
TIPOS DE PROBABILIDADES:
PROBABILIDAD A PRIORI: Aquí la probabilidad
de éxito se basa en el conocimiento anterior al proceso involucrado.
en el caso más
simple, cuando cada resultado es igualmente posible.
PROBABILIDAD CLÁSICA EMPÍRICA: Aunque la
probabilidad se siga definiendo como la proporción entre el número de
resultados favorables y el número de resultados, estos datos se basan en hechos
observados no en el conocimiento anterior a un proceso.
PROBABILIDAD SUBJETIVA: Mientras que en
los dos anteriores enfoques la probabilidad de un evento favorable se calcula
objetivamente, ya fuera de un conocimiento previo o de datos reales y la
probabilidad subjetiva se refiere a la posibilidad de ocurrencia asignada a un
evento por un individuo particular.
ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS
Experimento
Un experimento o fenómeno aleatorio es un proceso o acción
cuyo resultado es incierto.
Ejemplos: – Lanzar una moneda al aire y observar la cara
superior. – Marcar un teléfono al azar del directorio y observar si contestan,
no contestan o está ocupado.
Espacio muestra
de un experimento
El espacio muestra de un experimento, denotado por S, es el
conjunto de todos los posibles resultados del experimento.
Ejemplos: – Lanzar una moneda al aire y observar la cara
superior. S = {cara, cruz} – Marcar un teléfono al azar del directorio y
observar si contestan, no contestan o está ocupado. S = {contestan, no
contestan, ocupado}
DEFINICIONES
1. Un experimento aleatorio es aquel que
proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma
manera.
2. El conjunto de los posibles resultados
de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral del experimento. Denotaremos el espacio muestral
con la letra S.
1. Un evento
es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio
TIPOS DE MUESTREO:
- Muestreo
Aleatorio Simple:
Cuando se selecciona
un grupo de n unidades muéstrales de tal manera que cada muestra de tamaño n
tenga la misma posibilidad de ser seleccionada.
- Muestreo
Aleatorio Estratificado:
Consiste en separar
los elementos de la población en grupos que no presenten traslapes, llamados
estratos, y la selección posterior de una muestra aleatoria simple de cada
estrato.
- Muestreo
Sistemático:
Se obtiene al
seleccionar aleatoriamente un elemento de los primeros k elementos en el marco
y después seleccionar cada k-ésimo elemento a partir del primero.
- Muestreo por Conglomerados:
Cuando cada unidad
de muestreo aleatorio es a su vez una colección o conglomerado de elementos. En
Geología se dice que un conglomerado es una colección de arenas de diferente
tamaño.
TIPO DE EVENTOS
EVENTO
SIMPLE
Es un subconjunto del espacio muestral que contiene un
único elemento.
EVENTO
COMPUESTO
Cuando calculas probabilidades, a menudo tienes que tomar en
consideración dos o más eventos, conocidos como eventos compuestos. En un
evento compuesto, si el segundo evento no depende del resultado del primer
evento, entonces los eventos son independientes. Si el resultado de un evento
de un evento compuesto influye en el otro evento, entonces los eventos son
dependientes.
Probabilidad
de dos eventos independientes
La probabilidad de que ocurran dos eventos independientes se calcula
multiplicando la probabilidad del primer evento por la probabilidad del
segundo evento.
P (A y B) = P(A)·P (B)
Probabilidad
de dos eventos dependientes
Si dos eventos A y B son dependientes, entonces la probabilidad de
que ocurran los dos eventos es igual al producto de la probabilidad de A por la
probabilidad de B después de ocurrir A.
P (A y B) =P(A)·P (B dado A)
EVENTOS
MUTUAMENTE EXCLUYENTES
La ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro. No pueden
ocurrir dos eventos al mismo tiempo. La ocurrencia de cualquier evento implica
que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.
AXIOMAS
Y TEOREMAS
Un axioma es el
elemento básico de un sistema de lógica formal y junto con las reglas de
inferencia definen un sistema deductivo.
Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la
probabilidad constituyen una base para deducir a partir de ellas un amplio
número de resultados.
La letra P se utiliza para designar la
probabilidad de un evento, siendo P(A)la probabilidad de ocurrencia
de un evento A en un experimento.
1)
La probabilidad de
que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
0 ≤ p(A) ≤1
2)
La probabilidad de
que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.
p(Ω) = 1
3)
Si A y B son eventos
mutuamente excluyentes, entonces la
p(AUB) = p(A) + p(B)
TEOREMAS
TEOREMA 1. Si φ es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de
que ocurra φ debe ser cero.
p(φ)=0
TEOREMA 2. La
probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac )= 1 – p(A)
TEOREMA 3. Si un evento A ⊂ B, entonces la p(A) ≤ p(B).
TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(A∩B)
TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B).
CONCLUSIÓN:
A través de esta pequeña investigación ya pudimos darnos cuenta de que
el contenido de esto nos lleva a obtener las probabilidades de posibles
resultados como por ejemplo: Lo podemos relacionar en nuestra carrera podremos
crear un problema estadístico para poder saber que tanto es probable es que encuéntrenos
dichos fósiles en un yacimiento, en fin la estadística se utiliza para muchas
cosas al lanzar un dado o una moneda en nuestra vida diaria suceden muchas
cosas que podemos resolver en base a la probabilidad o mejor dicho empleando el
uso de la estadística, haciendo un muestreo en sí, empleando todos los
conocimiento que hemos aprendido.
BIBLIOGRAFÍAS:
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/21definicin_axiomas_y_teoremas.html
